Esto es muy poco probable, pero podría ser posible. Ver https://travel.state.gov/content/travel/en/passports/get-fast.html
Solía ser el caso que el servicio del mismo día o al día siguiente estaba disponible para cualquier persona que viajara en los próximos días, pero ahora dicen que esto es para personas con "emergencias de vida o muerte". Aún así, si vives lo suficientemente cerca de una agencia de pasaportes, definitivamente deberías probar el servicio de "2 a 3 semanas".
Viaje en menos de 2-3 semanas - Urgente
Seleccione este servicio si va a viajar en menos de 2-3 semanas.
Si no ha solicitado, haga una cita en línea. Su cita en una agencia de pasaportes o centro debe ser dentro de los 14 días calendario de su fecha de viaje internacional.
Si ya ha solicitado, llámenos al 1-877-487-2778.
No podemos garantizar que haya una cita disponible.
En mi experiencia, el pasaporte estaba disponible al día siguiente, pero si mal no recuerdo, también ofrecieron hacerlo disponible el mismo día; simplemente rechacé esa oferta porque no lo necesitaba tan rápidamente.
Incluso si no puedes obtener tu pasaporte a tiempo para tomar tu vuelo, podrías conseguirlo lo suficientemente rápido como para salir un día o dos más tarde de lo planeado y al menos disfrutar parte del viaje.
P.D.
Escribiste
No pude hacer el check-in porque mi pasaporte expira en menos de 3 meses.
Esto es cierto, pero como se indica, deja lugar a malentendidos sobre el requisito de validez del pasaporte. Dado que el requisito suele ser malinterpretado, lo explicaré aquí para otras personas que puedan encontrarse en una situación similar.
El requisito es que el pasaporte sea válido por tres meses más allá de la fecha de salida anticipada del área Schengen. Dado que la salida anticipada es el 10 de abril, tu pasaporte debería ser válido hasta el 10 u 11 de julio - no estoy seguro de cómo calculan "tres meses" para este propósito.
Algunas personas en esta situación podrían lograrlo reprogramando el vuelo de regreso para una fecha anterior, pero esta opción no está disponible para ti porque en tu caso la fecha anticipada de entrada al área Schengen ya es menos de tres meses antes de que expire el pasaporte.
(Existe un requisito adicional de que el pasaporte tenga menos de diez años en la fecha de entrada. Esto generalmente no afecta a los ciudadanos estadounidenses porque Estados Unidos no emite pasaportes con una validez superior a diez años, ni extiende la validez del pasaporte. Sin embargo, algunos países sí lo hacen, incluyendo el Reino Unido.)