¿Puedo cambiar los vuelos directamente con la aerolínea si los compré a través de un agente?

Salud Viajes, que luego me vendió un vuelo de Lufthansa.

Ese fue tu error. SIEMPRE reserva directamente con la aerolínea si es posible. Simplemente puedes buscar el itinerario exacto en el sitio web de LH y debería tener un precio aproximadamente igual.

En ese momento, aceptaste los términos y condiciones de Cheers Travel (presumiblemente sin leerlos realmente).

Desde https://www.cheerstravel.com.au/termsandconditions#ponits8

Cambios en Reservas Internacionales (incluido Trans-Tasman): $150 por persona, más tarifas de proveedores de servicios de viaje y tarifas de consolidación de $35 por persona (limitado a $700 por reserva).

Dado que compraste un boleto Flex (que desafortunadamente casi siempre es una pérdida de dinero) no debería haber tarifa de cambio de LH, pero probablemente seguirías siendo responsable de $185 por Cheers más la diferencia de tarifa. Dado que ves un aumento de $1650, supongo que la mayor parte de esto es la diferencia de tarifa.

para pasar la noche o incluso 2 noches

Esto puede cambiar tu escala en una parada, lo que puede tener un precio completamente diferente. Ten cuidado con lo que exactamente solicitas.

¿O hay algo más que podría hacer?

1. Calcula el itinerario exacto (de ida y vuelta) que deseas volar en el sitio web de LH y en algunos otros. Verifica la diferencia de tarifa y ajústala según sea necesario para acercarte a la misma.
2. Intenta hacer el cambio directamente con Lufthansa. A veces funciona, a veces no. No lo sabrás hasta que lo intentes y preguntes.
3. Si LH se niega, pide a Cheers el cambio. Cuando te llegue la cotización, solicita un desglose: ¿cuáles son las tarifas de Cheer, las tarifas de LH y cuál es la diferencia de tarifa? Si la diferencia de tarifa es más alta que la que obtienes en el sitio web de Cheers para una reserva nueva, discute sobre la diferencia de tarifa.

Como regla general, las aerolíneas no harán cambios en un boleto emitido por una agencia de viajes. La aerolínea ha pagado a la agencia de viajes una comisión por reservar el boleto, y esa comisión incluye la responsabilidad de cosas como hacer cambios en el boleto cuando sea necesario (tanto para cambios iniciados por el cliente, como para cosas como cambios de horario). Esto no se aplica a cambios en el "día del vuelo" (generalmente 24-48 horas antes de la salida) donde la aerolínea hará cambios por sí misma.

Algunas aerolíneas 'asumirán' el boleto por una tarifa, sin embargo (al menos oficialmente) Lufthansa NO lo permite. Su política es que la agencia de viajes es responsable de todos los cambios hasta al menos el día del vuelo. Si su vuelo es el vuelo de regreso para el boleto, es posible que tenga éxito al lograr que Lufthansa haga un cambio después de haber volado de ida, pero aún así es poco probable.

En cuanto a la tarifa de cambio que le han citado, es probable que esto incluya tanto una tarifa de viaje de Cheers como una 'diferencia de tarifa', por lo que incluso si pudiera cambiar a través de Lufthansa, todavía probablemente habría un cargo. Ha mencionado que reservó una tarifa Flex, lo cual, suponiendo que sea en realidad una tarifa Flex de Lufthansa (y no un concepto creado por Cheers Travel), evita la tarifa de cambio de Lufthansa, pero no la diferencia de tarifa ni cualquier otra tarifa a la que haya acordado al reservar con Cheers Travel.

Lamentablemente, su error principal aquí ha sido reservar con Cheers Travel. He escrito sobre su modelo en otro lugar, y en general no es alguien que recomendaría reservar a través de...

¿Puedo cambiar vuelos directamente con la aerolínea cuando los compré a través de un agente?

Eso depende de la aerolínea y de cómo el agente hizo la reserva, pero muchas veces no es posible modificar el boleto directamente con la aerolínea, y es común que los agentes intenten sacar provecho de sus clientes que quieren modificar sus boletos.

https://thepointsguy.com/travel/cancel-travel-agency-ticket/:

Si terminas reservando a través de la agencia de viajes, terminarás con lo que se conoce como un boleto "externo" o de "tercera parte". No solo estará regido por los términos de la aerolínea, sino que también estará sujeto a las condiciones de la agencia. Cada aerolínea maneja los boletos externos de manera diferente.