Gracias por toda la orientación.
Sólo quiero compartir la experiencia real que tuve porque supongo que esto será útil cuando alguien lo necesite.
El primer día que fui a por el visado Schengen, me pidieron primero el DATV. Al día siguiente fui a solicitar el visado DAT, pero me pidieron primero el visado Schengen. Al cabo de unos días, volví a solicitar el visado Schengen después de explicarlo. Fueron muy amables al entender mi situación.
Aceptaron y pude obtener el visado Schengen después de 10 días. Luego he solicitado el visado DAT y he podido obtener el visado después de 8 días laborables.
Así que muchas gracias a ambos consulados.
Todo el proceso me llevó unas 7 semanas.