¿Se puede hacer el control técnico anual requerido en otro país de la UE que no sea el suyo cuando se hace un viaje por carretera en Europa?

No, no puedes. Pero sí puedes:

• hazlo en tu país de origen antes de salir, ya que sólo "perderás" los pocos meses entre tu salida y la fecha de caducidad, y de todos modos es válido por un máximo de 2 años,
• o esperar que no te controlen (¡cuidado!),
• o realizar el registro en uno de los países que vayas a cruzar, cambia las matrículas y haz que te revisen el coche allí (por supuesto, necesitarás establecer la residencia en este país para hacerlo, pero incluso en un viaje de pocos meses puede que tengas que hacerlo si te quedas algún tiempo en un lugar de todos modos - más de 3 meses en muchos casos ).

Ya no hay restricciones a la importación de turismos dentro de Europa. Probablemente la mejor opción, la más fácil y la más barata, sería hacer el control técnico unos meses antes de su fecha de caducidad en tu país de origen (si lo entiendo bien, caducará durante tu viaje), ya que estás viajando "sólo" por unos meses y no obtendrás ninguna ventaja por matricularlo en otro país y luego volver al tuyo (y será una molestia y te costará más de lo que te ahorrarías).