El más fácil la manera sería tomar un taxi en el aeropuerto. Pero también será el más caro.
El aeropuerto de BCN está bastante mal conectado con el tren, y los trenes que llegan al aeropuerto enlazan con Barcelona, no con otras ciudades. Por otro lado, Barcelona está bien conectada con Tarragona por tren; tal vez buscó la estación "Camp de Tarragona". Esta es la estación de alta velocidad y está en medio de la nada, y pocos trenes se detienen allí. A búsqueda rápida para hoy muestra muchas opciones (pero descarta cualquier tren que se detenga en el Camp de Tarragona, "camp" significa "campo" en catalán, tierras de agricultores)
Creo que una conexión fácil pero asequible sería tomar un taxi en el aeropuerto hasta la estación de Barcelona Sants y luego tomar un tren a Tarragona. Una solución aún más barata sería abordar el autobús local 46 en la terminal del aeropuerto, dejarlo en la Plaza España, y luego tomar el Línea verde del metro (L3) y bajarse en Sants-Estació para tomar el tren. Como señala Gagravarr en su comentario, el servicio expreso del Aerobús es también una opción bien equilibrada entre precio y conveniencia. Este autobús expreso tiene espacio para el equipaje, por ejemplo, mientras que el autobús local no lo tiene. Todo depende de sus necesidades particulares.