Las normas para las estancias cortas (con o sin visado) ya se explican en ¿Cómo funciona la norma Schengen 90/180? y prolongar su estancia no es posible. Legalmente, los Estados miembros de Schengen aún pueden expedir algo llamado "visado de territorialidad limitada" para permitirle permanecer después de haber agotado sus 90 días, pero está destinado a diplomáticos o a fines humanitarios, por lo que no estará disponible para usted. Básicamente, tienes que permanecer 3 meses (90 días) fuera del espacio Schengen.
La única otra opción es conseguir un visado alemán de larga duración, por ejemplo, casándose con alguien o encontrando un trabajo de alta cualificación (se necesita bastante papeleo para conseguir un permiso), pero eso es todo. Una opción algo más realista para otras personas (por ejemplo, neozelandeses o canadienses) sería un visado de vacaciones por motivos de trabajo, pero como Estados Unidos no participa en este programa, eso no te servirá.
Por último, no es necesario que vuelvas a EE.UU. ni a ningún país en particular (digamos tu país de residencia), sólo tienes que permanecer fuera de la zona. Tres meses en Croacia, Reino Unido o Turquía serían suficientes para obtener otros 90 días de estancia sin visado.
Por cierto, no tienes visado Schengen y no podrías obtenerlo como ciudadano estadounidense, lo que estás haciendo es una estancia corta sin visado.